Kapitola 3
Transformace mezi systémy

V této kapitole se budeme zabývat způsoby a vlastnostmi různých způsobů transformace souřadnic mezi systémy. Uvedeme zde dva postupy, kterých bylo použito při vytváření programového modulu, a to sice postup s využitím Helmertovy 3D transformace a převod s použitím oprav pro $\varphi, \lambda$.

Chceme-li určit rovinné souřadnice $(X,Y)_{2}$ v systému 2 (např. S-JTSK), přičemž známe rovinné souřadnice $(X,Y)_{1}$ v systému 1 (např. S-42), musíme nejprve pomocí zobrazovacích rovnic získat zeměpisné souřadnice $\varphi, \lambda$, čímž jsme se zabývali v kapitole 1. Druhým a hlavním problémem je převedení zeměpisných souřadnic z jednoho systému do druhého. Tento přepočet můžeme provést několika způsoby, a to především pomocí Helmertovy sedmiprvkové 3D transformace, nebo výpočtem diference $\Delta\varphi, \Delta\lambda$, o kterou se liší zeměpisné souřadnice $\varphi, \lambda$ v obou systémech. Tuto diferenci můžeme vypočíst např. pomocí kubické transformační rovnice.

Pro použití obou metod je hlavním předpokladem znalost dostatečného počtu identických bodů, z nichž se určují transformační parametry. Přesnost transformace pak záleží hlavně na přesnosti těchto bodů a na přesnosti celé sítě, kterou je definován příslušný systém. Např. vlivem lokálních deformací v S-JTSK je pro jeho převod do WGS-84 možná přesnost transformačního klíče pro použití na celou Českou Republiku omezená.

3.1 Transformace souřadnic $\left(\varphi, \lambda,H \right)$ na $\left(X,Y,Z\right)$

V případě, že chceme převést souřadnice pomocí Helmertovy 3D transformace, musíme nejprve z $\varphi, \lambda$ vypočítat geocentrické pravúhlé souřadnice $X,Y,Z$ podle následujících vztahů:

$$X = \left(N+H\right)\cos\varphi\cos\lambda$$ (3.1)

$$* Y = \left(N+H\right)\cos\varphi\sin\lambda$$

$$* Y = \left(\left[1-e^{2}\right]+H\right)\sin\varphi\; .$$

Elipsoidická výška H je rovna součtu jeho normální výšky $H_{n}$ a výšky $\zeta$ kvazigeoidu (geoidu) $Q$ nad elipsoidem $E$.

$$H=H_n+\zeta$$

3.2 Transformace souřadnic $\left(X,Y,Z\right)$ na $\left(\varphi, \lambda,H \right)$

Obrázek: Prostorové pravoúhlé souřadnice XYZ

Geodetickou délku $\lambda$ vyjádříme z prvních dvou rovnic (3.1)

$$\tan\lambda=\frac{Y}{X}.$$

Pro geodetickou šířku $\varphi$ je odvození složitější a je nutné použít iteraci - viz [2].
Výsledné iterační vzorce:
První přibližnou hodnotu geodetické šířky vypočteme ze vztahu:

$$\tan\varphi^{I}=\frac{Z\left(1+e'^{2}\right)}{\sqrt{X^2+Y^2}}.$$ (3.2)

K hodnotě $\varphi^{I}$ určíme odpovídající $N^{I}$:

$$N^{I}=\frac{a}{\sqrt{1-e^{2}\sin^{2}\varphi^{I}}}.$$ (3.3)

A dosadíme do následujícího přesného vztahu, čímž určíme druhou přibližnou hodnotu $\varphi^{II}$:&sstarf#star;

$$\tan\varphi^{II}=\frac{Z+N^{I}e'^{2}\sin\varphi^{I}}{\sqrt{X^2+Y^2}}.$$ (3.4)

Pro třetí aproximaci bude platit:

$$\tan\varphi^{III}=\frac{Z+N^{II}e'^{2}\sin\varphi^{II}}{\sqrt{X^2+Y^2}}.$$ (3.5)

Třetí aproximace již dává hledanou hodnotu $\varphi=\varphi^{III}$. Ze vztahu (3.1) již snadno vypočítame výšku H:

$$H=\frac{X}{\cos\varphi\sin\lambda}$$ (3.6)

3.3 Transformace mezi systémy s využitím Helmertovy 3D transformace

Tento postup má následující kroky:

• Převod rovinných souřadnic $(X,Y)_{1}$ na zeměpisné $(\varphi,\lambda)_{1}$.
• Převod zeměpisný souřadnic $(\varphi,\lambda)_{1}$ na geocentrické prostorové souřadnic $(X,Y,Z)_{1}$.
• Výpočet $(X,Y,Z)_{2}$ Helmertovo prostorovou transformací.
• Převod $(X,Y,Z)_{2}$ na zeměpisné $(\varphi,\lambda)_{2}$.
• Převod $(\varphi,\lambda)_{2}$ na $(X,Y)_{2}$.

První a poslední dva kroky převodu jsou popsány v části 3.1, 3.2 a 1.1.

Souřadnice bodu vyjádříme pomocí vektoru a zavedeme následující označení:

$(\bm x)=\left(x,y,z\right)^{T}$	...	je vektor souřadnic 1. soustavy
$(\bm X)=\left(X,Y,Z\right)^{T}$	...	je vektor souřadnic 2. soustavy
$\alpha, \beta, \gamma$	...	jsou úhly rotace okolo souřadnicových os
$\bm {R}=\bm {R}_{1}(\alpha) \bm {R}_{2}(\beta)\bm {R}_{3}(\gamma)$	...	je matice rotace
$\Delta X,\Delta Y \Delta Z$	...	jsou posuny ve směru os
$q=1+m$	...	je měřítko ($m$ je zkreslení).

Při transformaci souřadnic v prostoru se tedy uplatní tři rotace, tři posuny a jedno délkové zkreslení. Proto se označuje jako sedmiprvková.

Transformaci mezi soustavami můžeme zapsat rovnicí:

$$\left( \begin{array}{ccc} X\\ Y\\ Z\\ \end{array} \right)=q\bm... ...left(\begin{array}{ccc} \Delta X\\ \Delta Y\\ \Delta Z\\ \end{array}\right),$$ (3.7)

kde matice $\bm R$ vyjádříme rovnicí:

$$\bm R=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & \si... ...\sin\gamma & 0 \\ -\sin\gamma & \cos\gamma & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ (3.8)

Při aplikaci této transfomace v geodézii se setkáváme zpravidla z velmi malými hodnotami posunů a rotací, a proto můžeme v rovnici (3.8) goniometrické funkce linearizovat takto:

$$\cos\alpha\dot{=}\cos\beta\dot{=}\cos\gamma\dot{=}1$$

$$\sin\alpha\dot{=}\alpha, \sin\beta\dot{=}\beta, \sin\gamma\dot{=}\gamma .$$

Po dosazení a roznásobení získáváme konečný tvar:

$$\left(\begin{array}{ccc} \bm X\\ \bm Y\\ \bm Z\\ \end{array}\r... ...eft(\begin{array}{ccc} \Delta X\\ \Delta Y\\ \Delta Z\\ \end{array}\right) .$$ (3.9)

Numerické hodnoty sedmi parametrů pro transformační rovnici většinou získáváme z nadbytečného množství identických bodů vyrovnáním metodou nejmenších čtverců (MNČ).

3.4 Transformace mezi systémy použitím oprav $\Delta\varphi, \Delta\lambda$

Tento postup má následující kroky:

• Převod rovinných souřadnic $(X,Y)_{1}$ na zeměpisné $(\varphi,\lambda)_{1}$.
• Připočtení diferencí $(\Delta\varphi, \Delta\lambda)_{1}$ tj, $\varphi_{2}=\varphi_{1}+\Delta\varphi$, $\lambda_{2}=\lambda_{1}+\Delta\lambda$ .
• Převod zeměpisných $(\varphi,\lambda)_{2}$ na rovinné $(X,Y)_{2}$.

$\Delta\varphi$ určíme pomocí kubické transformační rovnice jako funkci rovinných souřadnic $(X,Y)_{1}$:

$$\Delta\varphi=F(X,Y)=K+aX+bY+cX^{2}+dXY+ey^{2}+fX^{3}+gX^{3}Y+hXY^{2}+lY^{3}$$

Koeficienty $a$ až $l$ určíme z identických bodů aplikací MNČ. Lze použít i polynom vyššího stupně, ale výsledek již nepřináší zvýšení přesnosti, nýbrž často vede k numerické nestabilitě řešení.

Tento postup je vhodné aplikovat pouze v území bodů, ze kterých byl určen transformační klíč. Mimo tuto oblast může získat nepřesné výsledky, jde o extrapolaci.