Kapitola 1
Gaussovo a Křovákovo zobrazení

Cílem této kapitoly je vysvětlení a uvední všech matematických vztahů Gaussova a Křovákova zobrazení, nutných k převodu rovinných pravoúhlých souřadnic $X, Y$ na zeměpisné $\varphi, \lambda$ a opačně. Čerpali jsme z [1] a [2], kde lze nalézt i odvození dále uvedených vzorců.

1.1 Křovákovo zobrazení

Křovákovo zobrazení je konformní kuželové zobrazení v obecné poloze, které v roce 1922 navrhl Ing. Josef Křovák. Transformace souřadnic $\varphi, \lambda$ na pravoúhlé $X, Y$ se provádí v několika krocích. Nejprve je provedeno Gaussovo konformní zobrazení Besselova elipsoidu na kouli a poté konformní zobrazení na kuželovou plochu obecně položenou.

Schéma zobrazení:

$$\left(\varphi,\lambda\right)\stackrel{1}{\rightarrow}\left(U,V\ri... ...rightarrow}\left(\rho,\epsilon\right)\stackrel{4}{\rightarrow}\left(X,Y\right)$$

Jednotlivé kroky jsou vysvětleny v dalších paragrafech.

1.1.1 Gaussovo konformní zobrazení Besselova elipsoidu $\left(\varphi, \lambda\right)$ na kouli $\left(U,V\right)$

V první fázi je zobrazen Besselův elipsoid na kouli. Vzhledem k tomu, že tento krok předchází zobrazení na kuželovou plochu, nazývá se Křovákovo zobrazení dvojité. Podmínkou zobrazení je minimální délkové zkreslení kolem základní rovnoběžky, která byla zvolena $\varphi_{o}=49^{o}30'$ (Pro $\varphi_{o}$ je hodnota délkového zkreslení $m_{o}=1$). Pro tuto rovnoběžku byly určeny ostatní konstanty podle [1].

Zobrazovací rovnice:

$$\tan\left( \frac{U}{2}+45^{o}\right) = \frac{1}{k}\left[\tan\left(\frac{\varphi}{2}+45^{o}\right)\left(\frac{1-e \sin\varphi}{1-e\sin\varphi}\right)^{\frac{e}{2}}\right]^{\alpha}$$

$$V = \alpha\cdot\lambda\; .$$ (1.1)

Konstanty:

$$U_{o} = 49^{o}27'32,84625''$$

$$\alpha = 1,000597498372$$

$$k = 0,9965924869$$

$$R = \sqrt{M_{o}N_{o}}=6380703,6105 m\; .$$

První zobrazovací rovnici i vztah inverzní lze též vyjádřit pomocí částečného součtu řady ($\varphi$ a $U$ je ve stupních):

$$U = 99,8585979496\cdot 10^{-2}\cdot\Delta \varphi + 86,50351075\cdot 10^{-6}\cdot\Delta \varphi ^{3}-$$

$$-117,3673 \cdot 10^{-10}\cdot\Delta \varphi ^{4}-180,0 \cdot 10^{-14}\cdot\Delta \varphi ^{5}- U_{o}$$ (1.2)

$$\varphi = 100,1416022789 \cdot 10^{-2}\cdot\Delta U-86,87150417\cdot 10^{-6}\cdot\Delta U ^{2}+$$

$$+ 16,70197 \cdot 10^{-8}\cdot\Delta U ^{3} + 117,5089\cdot 10^{-10}\cdot\Delta U ^{4}-\varphi_{o} \; .$$

Pro délkové zkreslení platí vztah:

$$m =\frac{\alpha R \cos \left(U\right)}{N \cos \left(\varphi\right)}\; .$$ (1.3)

Obrázek: Křovákovo zobrazní

1.1.2 Transformace zeměpisných souřadnic $\left(U,V\right)$ na kartografické $\left(\check{S},D\right)$

Křovák zvolil za zobrazovací plochu kužel v obecné poloze. Empiricky zjistil, že ČSR lze ohraničit horizontálními kružnicemi do pásu o šířce $26^{o}31'$, přičemž zkreslení na okrajích dosahovalo hodnot +24cm/km. V případě normální polohy kužele by byl pás široký $3_{o}20'$ a zkreslení v maximální vzdálenosti od střední rovnoběžky až +42 cm/km. Při definitivní úpravě byla zvolena jako základní rovnoběžka kartografická rovnoběžka $\check{S}_{o}=78^{o}30'$ a okrajové $\check{S}_{1}=77^{o}13'$ a $\check{S}_{2}=79^{o}44'$. Základní rovnoběžka je kolmá na zeměpisný poledník $\lambda=42^{o}30'$ východně od Ferra a jejich průsečík $A$ má šířku $\varphi=48^{o}15'$. Tím je určen kartografický pól K, který má na referenční kouli souřadnice:

$$U_{K}=59^{o}42'42,6969'',\; V_{K}=42^{o}31'31,41725''$$

a na Besselově elipsoidu:

$$\varphi_{K}=59^{o}45'27'',\; \lambda_{K}=42^{o}30'v.G.$$

Vztahy pro transformaci bodu P mezi kartografickými a zeměpisnými souřadnicemi získáme řešením sferického trojúhelníku $S_{P}QP$.

Transformace $\left(U,V\right)\rightarrow\left(\check{S},D\right)$:

$$\sin \check{S} = \sin \left(U_{K} \right)\sin \left(U\right) + \cos\left(U_{K} \right)\cos\left(U\right)\cos\left(\Delta V\right)$$

$$\sin \left(D\right) = \frac{\sin\left(\Delta V\right)\cos \left(U \right)}{\cos\left(\check{S}\right)}$$ (1.4)

Transformace $\left(\check{S},D\right)\rightarrow\left(U,V\right)$:

$$\sin\left(U\right) = \sin\left(\check{S}\right)\sin \left(U_{K}\right)-\cos\left(\check{S}\right)\cos \left(U_{K}\right)\cos\left(D\right)$$

$$\sin \left(\Delta V\right) = \frac{\cos\left(\check{S}\right)\sin \left(D \right)}{\cos\left(U\right)}\;,$$ (1.5)

kde $\Delta V=V_{K}-V\;.$

1.1.3 Konformní kuželové zobrazení kartografických souřadnic $\left(\check{S},D\right)$ na $\left(\rho,\epsilon\right)$

Referenční koule je dále konformně zobrazena na kužel v obecné poloze. Ve vzorcích pro kuželové zobrazení (viz [1]) nahradíme zeměpisné souřadnice kartografickými a získáváme tyto zobrazovací rovnice:

$$\rho = \rho_{o}\left( \frac{\tan\left(\frac{\check{S}_{o}}{2}+45^{o}\right)}{\tan\left(\frac{\check{S}}{2}+45^{o}\right)}\right)^{n}$$

$$\epsilon = n\cdot D\;.$$ (1.6)

Konstanty a byly zvoleny pro jednu nezkreslenou rovoběžku a určeny ze vzorců:

kde k=0,9999 a R je poloměr referenční koule. Koeficient k redukuje délkové zkreslení na základní rovnoběžce a tím snižuje jeho hodnotu na rovnoběžkách okrajových. V důsledku je to podobný obrat, jako kdyby byl zvolen sečný kužel.

Pro inverzní výpočet platí vztahy:

1.1.4 Transformace polárních souřadnic $\left(\rho,\epsilon\right)$ na pravoúhlé $\left(\rho,\epsilon\right)$

Křovák umístil osu X do obrazu základního poledníku $\lambda=42^{o}30'$ v.F. a počátek souřadnic do vrcholu kužele Q. Tím byla celá ČSR umístěna do jediného kvadrantu. Pro převod $\left(\rho,\epsilon\right)$ na $\left(\rho,\epsilon\right)$ platí následující rovnice:

Pro vztah inverzní platí:

1.2 Gaussovo zobrazení, zobrazení UTM

Obrázek 1.2: Poledníkové pásy Gaussova zobrazení

Při tomto způsobu zobrazení je zobrazován elipsoid přímo do roviny, tedy bez zprostředkující koule, jak tomu bylo u Křovákova zobrazení. Gaussovo zobrazení je konformní válcové zobrazení elipsoidu do roviny, a to tak, že meridiální pruhy ($3^{o}$ nebo $6^{o}$) jsou zobrazovány samostatně podle obr. 1.2 .

1.2.1 Výpočet pravoúhlých souřadnic $X, Y$ ze zeměpisných $\varphi, \lambda$

K vyjádření zobrazovacích rovnic použijeme řady:

$$X = B+\frac{\lambda^{2}\cdot N}{2\rho^{2}}\sin\varphi\cos\varphi+ \fr... ...}\sin\varphi\cos\varphi^{3} \left(5-\tan^{2}\varphi+9\eta^{2}+4\eta^{4}\right)+$$

$$+ \frac{\lambda^{6}\cdot N}{720\rho^{6}}\sin\varphi\cos^{5} \left(61-58\tan^{2}\varphi+\tan\varphi^{4}+270\eta^{2}-330\eta^{2}\tan^{2}\varphi\right)$$ (1.7)

$$Y = \frac{\lambda\cdot N}{\rho}\cos\varphi+\frac{\lambda^{3}\cdot N}{6\rho^{3}}\cos^{3}\varphi \left(1-t^{2}+\eta^{2}\right)+$$

$$+ \frac{\lambda^{5}\cdot N}{120\rho^{5}}\cos^{5}\left(5-18t^{2}+t^{4}+14\eta^{2}-58\eta^{2}\tan\varphi^{2}\right)\;,$$

kde
$B$ ... délka oblouku meridiánu od rovníku po zemněpisní šířce $\varphi$
$\lambda$ ... zeměpisná délka redukovaná k délce základního poledníku
$\eta$ ... $\eta^{2}=e'^{2}\cos^{2}\varphi$
$t$ ... $\tan\varphi.$

Délku poledníkového oblouku $B$ určíme podle [2] ze vzorců:

$$B = \frac{a+b}{2}\left[B_{0}\cdot\varphi+\sum^{\infty}_{k=1}B_{2k}\sin 2k\varphi\right]$$ (1.8)

$$B_{0} = 1+\frac{1}{4}n^{2}+\frac{1}{64}n^{4}...$$

$$B_{2} = -\frac{3}{2} n+\frac{3}{16} n^{3}...$$

$$B_{4} = \frac{15}{16}n^{2}-\frac{15}{64}n^4+...$$

1.2.2 Výpočet zeměpisných souřadnic $\varphi, \lambda$ z pravúhlých $X, Y$

Vztahy pro určení $\varphi, \lambda$ z daných pravoúhlých rovinných souřadnic lze určit z rovnic (1.7) iterací - viz [1]. Výsledné rovnice:

$$\lambda = \frac{\rho}{\lambda N\cos\varphi}Y-\frac{\rho}{6N^{3}\cos\varphi}\left(1-2t^{2}+\eta^{2}\right)Y^{3}+$$ (1.9)

$$+ \frac{\rho}{120 N^{5}\cos{\varphi}}\left(5+28t^2+24t^4+6\eta^{2}+8\eta^{2}t^{2}\right)Y^{5}$$

$$\varphi_{1}-\varphi = \frac{t\rho}{2MN}Y^{2}-\frac{t_1\rho}{24MN^{3}}\left(5+3t^{2}+\eta^{2}-9n^{2}t{2}\right)+$$

$$+ \frac{t\rho}{720MN^{5}}\left(61+90t^{2}+45t^{4}\right)Y^{6}.$$

Obrázek 1.3: Gaussovo zobrazení

V rovnici pro výpočet $\varphi$ je nutné nejprve určit $\varphi_{1}$ a z něj pak vypočítat ostatní koeficienty ( $t,M,N,\eta$). $\varphi_{1}$ zjistíme iterací ze vzorce (1.8), přičemž podle obr. 1.3 platí $B=X$.

První přibližnou hodnotu $\varphi_{1}^{I}$ vypočteme ze vzorce:

$$\varphi_{1}^{I} = X\cdot\left(\frac{a+b}{2}\left(B_{0}\right)\right)^{-1} .$$

Druhou přibližnou hodnotu $\varphi_{1}^{II}$ zjistíme dosazením dosazením $\varphi_{1}^{I}$ do vzorce:&sstarf#star;

$$\varphi_{1}^{II} = X\cdot\left(\frac{a+b}{2}\left(B_{0}\right)\right)^{-1}-\left(\sum^{\infty}_{k=1}\left(B_{2k}\right)\sin 2k\varphi_{1}^{I}\right).$$

Případně třetí hodnotu: $\varphi_{1}^{III}$

$$\varphi_{1}^{III} = X\cdot\left(\frac{a+b}{2}\left(B_{0}\right)\right)^{-1}-\left(\sum^{\infty}_{k=1}\left(B_{2k}\right)\sin 2k\varphi_{1}^{II}\right).$$

Pro délkové zkreslení platí:

$$m=1+\frac{\lambda^2}{2}\cos^{2}\varphi\left(1+\eta^2\right)+\frac{\lambda^4}{24}\cos^{4}\varphi\left(5-\tan^2\varphi\right)+...$$

1.2.3 Úpravy Gaussova zobrazení (Gauss-Krügerovo zobrazení, UTM)

Gaussovo zobrazení bylo dále propracováno německým geodetem Krügerem, který vytvořil jeho mezinárodní úpravu. Pro třístupňové pásy jsou osou $X$ postupně poledníky $0^{o}, 3^{o}, 6^{o}..$ od Greenwiche - viz obr.(1.2). Počátkem souřadnicové soustavy je pak průsečík základního poledníku s rovníkem. Aby bylo možné rozpoznat, v kterém pásu bod leží i podle jeho rovinných souřadnic, přidávají se k souřadnici $y$ následující kostanty:

$$\lambda_{0} = 0^{o}\rightarrow \;Y=y+\;\;500\;000\;m$$ (1.10)

$$\lambda_{0} = 3^{o}\rightarrow \;Y=y+1\;500\;000\;m$$

$$\lambda_{0} = 6^{o}\rightarrow \;Y=y+2\;500\;000\;m$$

$$\lambda_{0} = 9^{o}\rightarrow \;Y=y+3\;500\;000\;m$$

$$\lambda_{0} = 12^{o}\rightarrow Y=y+4\;500\;000\;m$$

$$\lambda_{0} = 15^{o}\rightarrow Y=y+5\;500\;000\;m$$

$$\lambda_{0} = 18^{o}\rightarrow Y=y+6\;500\;000\;m$$

$$\lambda_{0} = 21^{o}\rightarrow Y=y+7\;500\;000\;m.$$

Pro šestistupňové pásy je úprava obdobná:

$$\lambda_{0} = 3^{o}\rightarrow \;Y=y+1\;500\;000\;m$$ (1.11)

$$\lambda_{0} = 9^{o}\rightarrow \;Y=y+2\;500\;000\;m$$

$$\lambda_{0} = 15^{o}\rightarrow Y=y+3\;500\;000\;m$$

$$\lambda_{0} = 21^{o}\rightarrow Y=y+4\;500\;000\;m.$$

Tato úprava Gaussova zobrazení je použita v systémech S-42 a S-52, kde se zobrazují $6^{o}$ pásy Krasovského elipsoidu. V těchto systémech je volen nezkreslený osový poledník $m_{\lambda_{0}}=1$. (Více o S-42 a S-52 v kapitole 2 .) U mezinárodně používaného Gaussova zobrazení Universal Transversal Mercator (UTM) se délkové zkreslení na osovém poledníku $6^{o}$ pásu upravuje na $m_{\lambda_{0}}=0.9996$, čímž je doaženo toho, že na osovém poledníku se délky zkracují (v naší zeměpisné šířce o 17cm/km) a na okrajích se o tutéž hodnotu prodlužují.

Zobrazovací rovnice pro UTM vzniknou vynásobením pravých stran v rovnicích (1.7) modulem $m_{o}=0.9996$.