Návrh ohybové výztuže a posouzení průřezů trámu (vzorový výpočet)

Působící vnitřní síly

Maximální ohybový moment nad podporou^?: $$M_{Ed,podp}=-58.6\ \rm{kNm}$$ Maximální ohybový moment v poli^?: $$M_{Ed,pole}=191.4\ \rm{kNm}$$

Materiálové vlastnosti

Návrhová pevnost betonu^?: $$f_{cd}=13.3\ \rm{MPa}$$ Návrhová pevnost oceli^?: $$f_{yd}=435\ \rm{MPa}$$ Přetvoření výztuže na mezi kluzu^?: $$\varepsilon_{sy} = \left( f_{yd} \over E_s \right) = \left( 435 \over 200000 \right) = 0.002175$$ Maximální velikost zrna kameniva^?: $$D_{max}=16\ \rm{mm}$$

Geometrie průřezu a konstrukce

Šířka průřezu^?: $$b_T=300\ \rm{mm}$$ Výška průřezu^?: $$h_{T}=610\ \rm{mm}$$ Krytí výztuže^?: $$c=25\ \rm{mm}$$ Průměr výztuže^?: $$⌀_{s}=14\ \rm{mm}$$ Průměr třmínků^?: $$⌀_{tř}=8\ \rm{mm}$$ Účinná výška průřezu^?: $$d=h-c-⌀_{tř}-⌀_s/2=610-25-8-14/2=570\ \rm{mm}$$ Světlá vzdálenost trámů: $$L_{4,s} = L_4 - b_T = 3.1 - 0.3 = 2.8\ \rm{m}$$

Průřez v poli

Spolupůsobící šířka

Vzdálenost nulových momentů na trámu^?:
(Vypočteno z rovnice pro průběh mometu \( M_{Ed} \)) $$l_0 = 6221 \ \rm{mm}$$ Polovina světlé vzdálenost trámů^?: $$b_1 = L_{4,s}/2 = 2800 / 2 = 1400 \ \rm{mm}$$ Světlá spolupůsobící šířka^?: $$b_{eff,1} = \rm{min}(0.2 b_1 + 0.1l_0; 0.2 l_0; b_1) $$ $$b_{eff,1} = \rm{min}(0.2 \cdot 1400 + 0.1 \cdot 6221; 0.2 \cdot 6221; 1400) = 902 \ \rm{mm}$$ Spolupůsobící šířka^?: $$b_{eff} = b_T + 2b_{eff,1} = 300 + 2 \cdot 902 = 2104 \ \rm{mm}$$

Návrh výztuže

Požadovaná plocha výztuže^?: $$ A_{s,req} = \left( b_{eff}df_{cd} \over f_{yd} \right) \times \left( 1-\sqrt{1- {2M_{Ed} \over f_{cd}b_{eff}d^2}} \right)$$ $$ A_{s,req} = \left( 2104 \cdot 570 \cdot 13.3 \over 435 \right) \times \left( 1-\sqrt{1- {2 \cdot 191.4 \cdot 10^6 \over 13.3 \cdot 2104 \cdot 570^2}} \right) = 780.1 \ \rm{mm^2} $$ Navržená výztuž^?: $$⌀_s=14 \ \rm{mm}$$ $$n = 6 \ \rm{ks}$$ $$A_{s,prov}=n \left(\pi {⌀_s}^2 \over 4\right) = 6 \cdot \left(\pi 8^2 \over 4\right) = 923.6 \ \rm{mm^2}$$ $$A_{s,prov}= 923.6 \ {\rm{mm^2}} > 780.1 \ {\rm{mm^2}} = A_{s,req} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rm{OK\ (návrh \ je \ bezpečný)}$$ $$ \rm{NÁVRH: 6 \times ⌀14\ mm \ }(A_{s,prov} = 923.6 \ \rm{mm^2}) $$
Rozteč prutů^?: $$s_c = \left( b_t - 2 c - 2 ⌀_{tř} - n ⌀_s \over n-1 \right) = \left( 300 - 2 \cdot 25 - 2 \cdot 8 - 6 \cdot 14 \over 6-1 \right) = 30 \ \rm{mm}$$ $$s = s_c + ⌀_s = 30 + 14 = 44 \ \rm{mm}$$

Ověření konstrukčních zásad

Konstrukční zásady^?: $$A_{s,min}=0.0013bd=0.0013 \cdot 300 \cdot 570 = 222.3 \ \rm{mm^2}$$ $$A_{s,max}=0.04bh = 0.04 \cdot 300 \cdot 610 = 7320 \ \rm{mm^2}$$ $$s_{min}=\max\left(20 \ \rm{mm}, 1.2⌀_s, D_{max}+5\ \rm{mm} \right)=\max\left(20 \ \rm{mm}, 1.2 \cdot 14, 16+5\ \rm{mm} \right)=21 \ \rm{mm}$$ $$s_{max}=\min\left(2h, 250 \ \rm{mm}\right)=\min\left(2 \cdot 610, 250 \ \rm{mm}\right)=250 \ \rm{mm}$$
$$A_{s,min} < A_{s,prov} < A_{s,max} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$ $$222.3 < 923.6 < 7320 \ \ \ \ \ \ \rm{OK}$$ $$s_{min} < s_c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$ $$21 < 30 \ \ \ \ \ \ \ \ \rm{OK}$$ $$ s < s_{max}\ \ \ \ \ \ \ \ \ $$ $$ 44 < 250 \ \ \ \ \ \ \rm{OK}$$

Stanovení výšky tlačené oblasti

Napětí ve výztuži^?: $$\sigma_{s}=f_{yd}=435 \ \rm{MPa}.$$ Výška tlačené oblasti^?: $$x=\left( A_{s,prov}f_{yd} \over 0.8b_{eff}f_{cd}\right)=\left(923.6 \cdot 435 \over 0.8 \cdot 2104 \cdot 13.3\right)= 17.9 \ \rm{mm}$$ Ověření přetvoření výztuže^?: $$\varepsilon_s=\left(-0.0035 \over -x\right) \times \left(d-x\right)=\left(-0.0035 \over -17.9\right) \times \left(570-17.9\right)=0.107947$$ $$\varepsilon_s= 0.107947 > 0.002175=\varepsilon_{sy} \ \ \ \ \ \ \rm{OK}$$ Ověření poměrné výšky tlačené oblasti^?: $$\xi=\left(x \over d \right) = \left(17.9 \over 570 \right) = 0.031$$ $$\xi= 0.031 < 0.617 = \xi_{bal} \ \ \ \ \ \ \rm{OK}$$ $$\xi= 0.031 < 0.45 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rm{OK}$$

Moment únosnosti

Rameno vnitřních sil^?: $$ z = d-0.4x = 570 - 0.4 \cdot 17.9 = 562.8\ \rm{mm} $$ Moment únosnosti^?: $$ M_{Rd} = f_{yd}A_{s,prov}z = 435 \cdot 923.6 \cdot 562.8 \cdot 10^{-6} = 226.1 \ \rm{kNm} $$

Posouzení průřezu

Posouzení průřezu^?: $$ M_{Ed} = 191.4 \ {\rm{kNm}} < 226.1 \ {\rm{kNm}} = M_{Rd} $$ $$ \rm{VYHOVUJE} $$ Stupeň využití: $$ \left( M_{Ed} \over M_{Rd} \right) = \left( 191.4 \over 226.1 \right) = 85 \% $$ $$ \rm{Návrh \ je \ bezpečný \ a \ ekonomický.} $$

Průřez nad podporou

Návrh výztuže

Požadovaná plocha výztuže^?: $$ A_{s,req} = \left( b_{T}df_{cd} \over f_{yd} \right) \times \left( 1-\sqrt{1- {2M_{Ed} \over f_{cd}b_{T}d^2}} \right)$$ $$ A_{s,req} = \left( 300 \cdot 570 \cdot 13.3 \over 435 \right) \times \left( 1-\sqrt{1- {2 \cdot 58.6 \cdot 10^6 \over 13.3 \cdot 300 \cdot 570^2}} \right) = 242.1 \ \rm{mm^2} $$ Navržená výztuž^?: $$⌀_s=14 \ \rm{mm}$$ $$n = 2 \ \rm{ks}$$ $$A_{s,prov}=n \left(\pi {⌀_s}^2 \over 4\right) = 2 \cdot \left(\pi 14^2 \over 4\right) = 307.9 \ \rm{mm^2}$$ $$A_{s,prov}= 307.9 \ {\rm{mm^2}} > 242.1 \ {\rm{mm^2}} = A_{s,req} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rm{OK (návrh \ je \ bezpečný)}$$ $$ \rm{NÁVRH: 2 \times ⌀14\ mm \ }(A_{s,prov} = 307.9 \ \rm{mm^2}) $$
Rozteč prutů^?:
     Pruty budou umístěny do rohů třmínku. $$s_c = \left( b_t - 2 c - 2 ⌀_{tř} - n ⌀_s \over n-1 \right) = \left( 300 - 2 \cdot 25 - 2 \cdot 8 - 2 \cdot 14 \over 2-1 \right) = 204 \ \rm{mm}$$ $$s = s_c + ⌀_s = 204 + 14 = 218 \ \rm{mm}$$

Ověření konstrukčních zásad

Konstrukční zásady^?: $$A_{s,min}=0.0013bd=0.0013 \cdot 300 \cdot 570 = 222.3 \ \rm{mm^2}$$ $$A_{s,max}=0.04bh = 0.04 \cdot 300 \cdot 610 = 7320 \ \rm{mm^2}$$ $$s_{min}=\max\left(20 \ \rm{mm}, 1.2⌀_s, D_{max}+5\ \rm{mm} \right)=\max\left(20 \ \rm{mm}, 1.2 \cdot 14, 16+5\ \rm{mm} \right)=21 \ \rm{mm}$$ $$s_{max}=\min\left(2h, 250 \ \rm{mm}\right)=\min\left(2 \cdot 610, 250 \ \rm{mm}\right)=250 \ \rm{mm}$$
$$A_{s,min} < A_{s,prov} < A_{s,max} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$ $$222.3 < 307.9 < 7320 \ \ \ \ \ \ \rm{OK}$$ $$s_{min} < s_c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$ $$21 < 204 \ \ \ \ \ \ \ \ \rm{OK}$$ $$ s < s_{max}\ \ \ \ \ \ \ \ \ $$ $$ 218 < 250 \ \ \ \ \ \ \rm{OK}$$

Stanovení výšky tlačené oblasti

Napětí ve výztuži^?: $$\sigma_{s}=f_{yd}=435 \ \rm{MPa}.$$ Výška tlačené oblasti^?: $$x=\left( A_{s,prov}f_{yd} \over 0.8b_{T}f_{cd}\right)=\left(307.9 \cdot 435 \over 0.8 \cdot 300 \cdot 13.3\right)= 41.9 \ \rm{mm}$$ Ověření přetvoření výztuže^?: $$\varepsilon_s=\left(-0.0035 \over -x\right) \times \left(d-x\right)=\left(-0.0035 \over -41.9\right) \times \left(570-41.9\right)=0.044168$$ $$\varepsilon_s= 0.044168 > 0.002175=\varepsilon_{sy} \ \ \ \ \ \ \rm{OK}$$ Ověření poměrné výšky tlačené oblasti^?: $$\xi=\left(x \over d \right) = \left(41.9 \over 570 \right) = 0.073$$ $$\xi= 0.073 < 0.617 = \xi_{bal} \ \ \ \ \ \ \rm{OK}$$ $$\xi= 0.073 < 0.45 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rm{OK}$$

Moment únosnosti

Rameno vnitřních sil^?: $$ z = d-0.4x = 570 - 0.4 \cdot 41.9 = 553.3\ \rm{mm} $$ Moment únosnosti^?: $$ M_{Rd} = f_{yd}A_{s,prov}z = 435 \cdot 307.9 \cdot 553.3 \cdot 10^{-6} = 74.1 \ \rm{kNm} $$

Posouzení průřezu

Posouzení průřezu^?: $$ M_{Ed} = 58.6 \ {\rm{kNm}} < 74.1 \ {\rm{kNm}} = M_{Rd} $$ $$ \rm{VYHOVUJE} $$ Stupeň využití: $$ \left( M_{Ed} \over M_{Rd} \right) = \left( 58.6 \over 74.1 \right) = 79 \% $$ $$ \rm{Návrh \ je \ bezpečný \ a \ ekonomický.} $$